將Brown運(yùn)動(dòng)應(yīng)用于股票價(jià)格,我們關(guān)心的另外一點(diǎn)是未來(lái)一段時(shí)間股價(jià)達(dá)到的最高價(jià).我們來(lái)分析Brown運(yùn)動(dòng)在[0, t]的最大值maxX(s).我們可以分析maxX(s)達(dá)到某一水平a的概率分布P|maxX(s)≥a}.顯然隨機(jī)變量maxX(s)在[0, t]上能超過(guò)a與在[0,t]上首次達(dá)到a的概率是相同的,即P|maxX()≥al=P(T.≤1)≈Jζ°e idy.0≤≤1π JaNi故隨機(jī)變量M(t) = maxX(s)的密度函數(shù)fsmo(a)為0≤≤1fmo(a)=- =exp{-a*/2t} (a≥0).√2πt

 

   也就是說(shuō),給定任意一個(gè)希望達(dá)到的股價(jià)(或投資回報(bào)率)a,我們都可以求出未來(lái)--段時(shí)間[0, 1]內(nèi)達(dá)到這個(gè)價(jià)位的可能性f(a).定義若{X(t),t≥0}是Brown運(yùn)動(dòng),則由Y(t)=eXI"定義的過(guò)程{Y(t), 1≥0}稱為幾何Brown運(yùn)動(dòng).由于X(t)是均值為0,方差為t的正態(tài)變量,我們可以得出Y(t)的分布特征為

E[Y(t)] = E[exX()]= e'r,var[Y(t)]= E[Y(t)]- E[Y(t)]* = e"-e'.在分析股票的價(jià)格行為特點(diǎn)時(shí),我們假設(shè)InP,- InP,- 序列

獨(dú)立同分布，lnP,- InP1- 正好表示[t-1, t]間的連續(xù)時(shí)間收益率.

 

   我們將[0, 1]分成n個(gè)小區(qū)間,對(duì)應(yīng)的價(jià)格分別為{Po,

P, .. P,I,由P, =P Pz

P。P

得到

InP。= (InP1 - InP.)+ (InP:一lnPl)+...

+(InP,- InP_1).

   由于股價(jià)在小區(qū)間內(nèi)的收益率(InP,- InP-1)是獨(dú)立同分布的，由中心極限定理知，lnP。是服從正態(tài)分布的.又由于序列{InP,-lnP,-1}是獨(dú)立的，因此{(lán)InP. }是Brown運(yùn)動(dòng),即股價(jià)序列{P,}服從幾何Brown運(yùn)動(dòng).例如,設(shè)一個(gè)人在將來(lái)的一個(gè)時(shí)刻T又以固定的價(jià)格K購(gòu)買(mǎi)-股某種股票的期權(quán),假設(shè)股票目前的價(jià)格為yo,且它的價(jià)格按照幾何Brown運(yùn)動(dòng)變化.試計(jì)算期權(quán)在T時(shí)刻的價(jià)格的期望值.令Y(t) = vex(), X(0)= 0, X(t)服從Brown運(yùn)動(dòng).因此

 

   在這里,股價(jià)的對(duì)數(shù)序列X(1)在經(jīng)過(guò)[0, T]后其期望值仍為0,這與人們對(duì)股票資產(chǎn)的期望回報(bào)率大于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率不一-致.因此在實(shí)際中,我們常引入下面的一般化的Brown運(yùn)動(dòng).定義我們說(shuō) {X(l), t≥0}是漂移系數(shù)為p的Brown運(yùn)動(dòng),若

(1) X(0) = 0;

(2) {X(t), t≥0}有平穩(wěn)獨(dú)立增量;

(3) X(t)服從均值為pt,方差為t的正態(tài)分布.

   有漂移的Brown運(yùn)動(dòng)可寫(xiě)成X(t)=μt + B(1),其中B(t)是標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng).例1.1設(shè)隨 機(jī)游動(dòng)過(guò)程為標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng),求在95%的概率下到達(dá)6所需的單位時(shí)間.解由公式P(T。≤a) = 2P(X(l)≥a)得

 

   查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表,得重(0.06)= 1-0.475, l=0.06)= 10 000，因此為了到達(dá)目標(biāo)位置6,在95%概率下需要10 000個(gè)單位時(shí)間.

   例1.2設(shè)隨機(jī)游動(dòng)過(guò)程 X(t)服從漂移為μ= 6的Brown運(yùn).動(dòng),求在95%的概率下到達(dá)6所需的單位時(shí)間.解由公式

P(T.≤a) = 2P(X(t)≥a)= -√2πtJ.dr,得，從而轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,查表得t= 1.