由于事實(shí)上許多衍生產(chǎn)品并不存在封閉解,人們開始嘗試其他的方法，包括二叉樹法、近似解、數(shù)字解和Monte Carlo技術(shù).
1.二叉樹法
二叉樹模型是最傳統(tǒng)的方法.它的特點(diǎn)是繁瑣但很精確,它將標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)分為兩種情形,并通過多階段分析得到最終結(jié)果.
2.近似解
數(shù)學(xué)上認(rèn)為任何連續(xù)函數(shù)都可以通過多項(xiàng)式逼近,Johnson(1983年)在此基礎(chǔ)上發(fā)展了一個(gè)用于求解美式看跌期權(quán)的公式，但是由于涉及輸入?yún)?shù)的變化范圍,此公式不夠精確.Macmillan(1986年), Barone和Whelay(1987年)分別提出了更加精確的近似公式,通過對微分方程的近似公式進(jìn)行求解而得到結(jié)果,雖然輸入?yún)?shù)選取范圍上受到一定的限制,但它仍被廣泛地使用.
3.數(shù)字解
前面提到在用于美式看跌期權(quán)定價(jià)的Geske一Johnson封閉解中存在無窮數(shù)項(xiàng), Geske和Johnson(1984年)用數(shù)字方法得到了這個(gè)公式的近似解,這一方法即Richardson 外推法.因?yàn)橐灰粋�(gè)精確公式 的近似解畢竟優(yōu)于一個(gè)近似公式的精確解,因此相比Ber一one和Whelay的方法, Richardson外推法更為看好.同時(shí),近年來計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展也導(dǎo)致近似解不再流行,而數(shù)字解更具有吸引力.
4. Monte Carlo技術(shù)
Boyle(1977年)將Monte Carlo模擬方法引入了期權(quán)領(lǐng)域.在定價(jià)期權(quán)時(shí),會(huì)產(chǎn)生上萬種隨機(jī)結(jié)果,這是由于標(biāo)的資產(chǎn)隨機(jī)變化的結(jié)果.MonteCarlo模擬方法通過對標(biāo)的資產(chǎn)的模擬得出期權(quán)價(jià)格的隨機(jī)分布情況,然后對期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)即得.Monte Carlo技術(shù)在如今仍受到極大關(guān)注的一個(gè)重要原因是它能對許多復(fù)雜衍生產(chǎn)品進(jìn)行精確定價(jià).現(xiàn)在研究者們正在致力于完善Monte Carlo技術(shù),如Lehociky(1997年), Paskov(1997年)和Newton( 1997年)的研究。
在幾乎所有的期權(quán)定價(jià)模型中,最關(guān)鍵的參數(shù)就是標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率,大多數(shù)期權(quán)對波動(dòng)率這一不可觀察的變量高度敏感.為了取得期權(quán)定價(jià),必須估計(jì)波動(dòng)率。第一個(gè)常用的方法是用最近的歷史波動(dòng)率作為遠(yuǎn)期波動(dòng)率的預(yù)測，這就是Engle(1982年)提出的條件異方差(ARCH)模型,現(xiàn)在該模型已經(jīng)發(fā)展成為一個(gè)被用來估計(jì)波動(dòng)率的ARCH族( ARCH Family)模型.另外一個(gè)常用方法是采用隱含波動(dòng)率.令由期權(quán)定價(jià)公式得到的理論期權(quán)價(jià)格與當(dāng)前市場交易的期權(quán)價(jià)格相等時(shí)所求出的波動(dòng)宰就是隱含波動(dòng)率.隱含波動(dòng)率的研究集中在它的估計(jì)方法和預(yù)測能力兩個(gè)方面.
Backers(1981年) ,Canina和Figlewski( 1993年) , Mayhew( 1995年)都認(rèn)為隱含波動(dòng)率用來預(yù)測真實(shí)波動(dòng)率的效果并不好.近來,瞬時(shí)波動(dòng)率的可變性受到了一些關(guān)注.大多數(shù)期權(quán)定價(jià)模型以波動(dòng)率不變?yōu)榧僭O(shè)條件,而事實(shí)上波動(dòng)率本身是一個(gè)隨機(jī)變量,因此,經(jīng)常被稱為隨機(jī)波動(dòng)率.假如波動(dòng)率本身是有風(fēng)險(xiǎn)的，那么在把它代入期權(quán)定價(jià)模型時(shí),需要對波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)也進(jìn)行套期保值,雖然已經(jīng)開發(fā)出了以波動(dòng)率為標(biāo)的資產(chǎn)的衍生產(chǎn)品,但從技術(shù)上來說對波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行套期保值是不可能的.Ball和Roma(1994年)對隨機(jī)波動(dòng)率進(jìn)行了深入的研究.在期權(quán)定價(jià)研究中一個(gè)令人困惑的現(xiàn)象是給定了標(biāo)的資產(chǎn)后,波動(dòng)率會(huì)隨時(shí)間和執(zhí)行價(jià)格而變化.這個(gè)現(xiàn)象也被稱為波動(dòng)率的期限結(jié)構(gòu).相同標(biāo)的資產(chǎn)具有相同到期日但由于具有不同執(zhí)行價(jià)格所引起的波動(dòng)率上的差異被稱為“波動(dòng)率微笑".這個(gè)稱呼是由隱含波動(dòng)率隨執(zhí)行價(jià)格變化的形狀得來,即執(zhí)行價(jià)格偏高或偏低時(shí)波動(dòng)率高，而執(zhí)行價(jià)格在市場價(jià)格附近時(shí)波動(dòng)率較低.“波動(dòng)率微笑"(或者說標(biāo)的資產(chǎn)含有的波動(dòng)率不止一個(gè))已被大量研究證實(shí),但結(jié)論卻不能令人滿意.因?yàn)榧偃绱嬖诙鄠�(gè)波動(dòng)率,則期權(quán)定價(jià)模型就難以應(yīng)用.現(xiàn)在有許多研究已著力于改進(jìn)期權(quán)定價(jià)模型,使之適應(yīng)波動(dòng)率變化的情況.在這個(gè)領(lǐng)域中最著名的研究工作有Rubinstein .(1994年), Dupire(1994年)和Derman, Kani(1994年)
